4 problemas matemáticos da Antiguidade que demonstram que o impossível era possível:apostas esportivas betmotion

O que se sabe é que foram os antigos gregos que apresentaram esses problemas com precisão,apostas esportivas betmotiontermos matemáticos.

Resumidamente, os objetivos desses problemas eram encontrar:

• a quadratura do círculo

• a trissecção do ângulo

• a duplicação do cubo

• a inscriçãoapostas esportivas betmotiontodos os polígonos regularesapostas esportivas betmotionum círculo

Expressos desta forma, podem parecer confusos, mas, na verdade, o que está sendo pedido é:

• desenhar um quadrado cuja área seja a mesmaapostas esportivas betmotionum círculo dado

• dividir um ânguloapostas esportivas betmotiontrês ângulos iguais

• desenhar um cubo que tenha o dobro do tamanhoapostas esportivas betmotionoutro

• dividir um círculoapostas esportivas betmotionpartes iguais

Assim está mais claro, não?

Mas, como disse o escritor americano Donald Westlake (1933-2008), "sempre que algo parece fácil, é porque existe uma parte que você não ouviu". Ou, neste caso, que nós não dissemos.

Você só pode resolver estes problemas no estilo usado na Grécia antiga. Ou seja, alémapostas esportivas betmotionalgo para traçar um desenho, algo onde desenhar e daapostas esportivas betmotionmente, você só pode usar um compasso e uma régua sem marcações.

Por quê?

"Esta é uma boa pergunta. E há várias respostas", afirmou à BBC News Mundo (o serviçoapostas esportivas betmotionespanhol da BBC) o matemático David Richeson, autor do livro Tales of Impossibility ("Contosapostas esportivas betmotionimpossibilidade",apostas esportivas betmotiontradução livre).

"Uma resposta é que o compasso e a régua são registrados muito claramente nos postulados do livro fundamentalapostas esportivas betmotionmatemática Os Elementosapostas esportivas betmotionEuclides [cercaapostas esportivas betmotion300 a.C.]", explica ele.

"Outra é que eles representam as ferramentas mais básicas que sempre foram usadas. Com uma corda, você pode traçar uma linha reta e, se fixar uma das extremidades ao solo, com a outra pode desenhar um círculo."

"Mas também porapostas esportivas betmotionsimplicidade e elegância", afirma o matemático. "Para mim, o surpreendente não é tanto o que não se pode fazer, mas tudo o que se pode fazer com estas ferramentas."

Você pode, por exemplo, bissectar um ângulo (dividi-loapostas esportivas betmotiondois ângulos iguais) com facilidade.

(1) Apoie o compasso no vértice do ângulo e desenhe um arco. (2) Apoie o compassoapostas esportivas betmotionum dos pontosapostas esportivas betmotionintersecção do arco com as linhas e desenhe um arco. (3) Faça o mesmo no outro pontoapostas esportivas betmotionintersecção. (4) Trace uma linha entre o vértice do ângulo e o pontoapostas esportivas betmotionintersecção dos dois arcos.

"A bissecçãoapostas esportivas betmotionum ângulo é algo que aprendemos na aulaapostas esportivas betmotiongeometria na escola. É muito simples", destaca Richeson. "Mas a pergunta que interessava aos gregos é: se você tiver um ângulo, poderia dividi-loapostas esportivas betmotiontrês partes iguais?"

"A resposta é: às vezes, sim, mas não existe uma regra geral para isso."

O matemático prossegue: "Isso não quer dizer que estes problemas sejam insolúveis, independentemente das ferramentas que você utilizar. Mas, com as ferramentas euclidianas clássicas, é impossível resolvê-los."

Arquimedes, um dos maiores matemáticos da história, demonstrou que, se a régua tiver apenas duas marcas, é possível medir exatamente uma distância, o que seria suficiente para proceder à trissecçãoapostas esportivas betmotionqualquer ângulo, segundo Richeson. "Ou seja, se as suas ferramentas fossem um pouquinho mais sofisticadas, estes problemas poderiam ser solucionados."

Mas, assim, não vale. O desafio é resolver os problemas respeitando as regras do jogo, o que é irresistível para mentes brilhantes...

...muito brilhantes

O primeiro matemático conhecido por tentar atingir a quadratura do círculo foi Anaxágoras, famoso por ter sido o primeiro a introduzir a filosofiaapostas esportivas betmotionAtenas, na Grécia, no século 5° a.C.

Anaxágoras foi preso por afirmar que o Sol não é um deus, mas uma rocha que ardeapostas esportivas betmotionvermelho vivo, e que a Lua refleteapostas esportivas betmotionluz, segundo conta o historiador Plutarco (46-120 d.C.).

Ele passou seu tempo na prisão tentando construir, apenas com régua e compasso, um quadrado com a mesma áreaapostas esportivas betmotionum círculo. Mas seus esforços foramapostas esportivas betmotionvão.

Seu contemporâneo Hipócratesapostas esportivas betmotionQuio, um dos matemáticos cuja obra foi sintetizada na geometria euclidiana, conseguiu uma solução parcial alentadora: a lúnulaapostas esportivas betmotionHipócrates, a primeira quadraturaapostas esportivas betmotionuma figura curvilínea da história.

Seriam necessários 23 séculos para que o grande matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrasse dois novos tiposapostas esportivas betmotionlúnulas que podiam ser transformadasapostas esportivas betmotionquadrados,apostas esportivas betmotion1771. Masapostas esportivas betmotiondescoberta não contribuiria para a quadratura do círculo, como se chegou a pensar.

Este é apenas o princípioapostas esportivas betmotionuma longa listaapostas esportivas betmotionmatemáticos, amadores ou não, que tentaram atingir este objetivo, armados apenas com as duas ferramentas.

"Leonardo da Vinci [1452-1519] passou um período realmente fascinado pela matemática e pela geometria e tentou resolver estes problemas, mas também incorporou seu talento artístico para criar desenhos com eles", destaca Richeson.

E da Vinci não foi o único renascentista a tentar resolver os problemas clássicos. O artista mais famoso do Renascimento alemão, Albrecht Dürer (1471-1528), foi outro dos matemáticos mais importantes daquela época.

No segundo volume daapostas esportivas betmotionobra Os Quatro Livros da Medida, Dürer forneceu métodos aproximados para atingir a quadratura do círculo, utilizando construções com régua e compasso. E também forneceu um método para obter,apostas esportivas betmotionforma bastante aproximada, a trissecção do ângulo com ferramentas euclidianas.

Para Richeson, uma das histórias mais fascinantes fala sobre a construçãoapostas esportivas betmotionpolígonos regulares – ou seja, a divisão do círculoapostas esportivas betmotionpartes iguais.

"Este sempre foi um problema notoriamente complicado", ele conta. "Sabia-se fazer vários deles, mas não todos. Alguns, como os polígonos com 7, 9 e 17 lados, eram desconhecidos e, por muitos anos, as pessoas se perguntavam se seriam impossíveis."

Desde o tempo da Grécia clássica até o final do século 18, não houve progressos significativos usando apenas as ferramentas euclidianas. Até que surgiu o prodígio matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

"Em 1796, Gauss era apenas um adolescente, mas acabou sendo um dos matemáticos mais famosos da história. Ele demonstrou que é possível construir um polígono regular com 17 lados."

"Foi umaapostas esportivas betmotionsuas primeiras descobertas – algo que era impossível para geraçõesapostas esportivas betmotionmatemáticos", conta Richeson.

É preciso também terapostas esportivas betmotionmente que, como estes problemas são teóricos e não práticos, as provas daapostas esportivas betmotionresolução são mais importantes do que a resoluçãoapostas esportivas betmotionsi. E a profunda análise feita por Gauss para comprovarapostas esportivas betmotiondescoberta abriu as portas para ideias posteriores sobre a chamada teoriaapostas esportivas betmotionGalois.

Por isso, se você se perguntava qual o benefícioapostas esportivas betmotiontantas mentes brilhantes terem se esforçado tanto, tentando conseguir algo que,apostas esportivas betmotionvários casos, poderia ser atingido com outras ferramentas, este é um exemploapostas esportivas betmotionprocessoapostas esportivas betmotionretroalimentação que gerou muitos outros conhecimentos.

"Tentar resolver estes problemas realmente impulsionou a matemática, mas também, à medida que a matemática se desenvolvia, as pessoas retornavam aos problemas antigos e verificavam se as novas descobertas ajudavam a resolvê-los", explica o especialista. "Foi uma espécieapostas esportivas betmotionida e volta ao longo dos séculos."

Mas nem tudo é possível

Tentar solucionar estes problemas contribuiu para o progresso da matemática, mas a demonstração daapostas esportivas betmotionimpossibilidade dependia desses avanços.

"Foi preciso esperar pela invenção da geometria analítica, da álgebra, do cálculo, dos números complexos, a compreensão profunda do número π e até um pouco da teoria dos números", afirma Richeson, "e esta foi parte da razão por que demorou tanto tempo."

No caso da quadratura do círculo, por exemplo, "o tiroapostas esportivas betmotionmisericórdia ocorreu quando se descobriu que π é um número transcendental".

Após séculosapostas esportivas betmotionuma obsessão que chegou a receber um nome na Grécia antiga – tetragonidzein, ou ocupar-se com a quadratura do círculo –, a busca chegou ao fim.

A quadratura do círculo não foi apenas uma ambição dos luminares mais ou menos célebres, que trouxeram avanços ao conhecimento com seus esforços. Milharesapostas esportivas betmotionpessoas, ao longo dos anos, sofreram do que o matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871) chamouapostas esportivas betmotionmorbus cyclometricus – a doença da quadratura do círculo que, segundo ele, afetava os entusiastas mal informados.

Uma dessas pessoas foi o contador e matemático amador argentino Elías O'Donnell. Em 1870, ele publicou um livro com "a mais íntima consciênciaapostas esportivas betmotionque, neste tratado, é demonstrada, da forma mais convincente e rigorosa, a desejada resolução exata da quadratura do círculo", segundo declarado pelo autor, logo na primeira página da obra.

"E, por mais grave que pareça esta afirmação, ela será verdadeira para todos os séculos da posteridade."

Mas, desde 1801, já se sabia, graças a Gauss, que π (a área do círculo com raio 1) é transcendente e, por isso, a quadratura do círculo é impossível.

Em 1882, outro matemático alemão, Ferdinand Von Lindemann (1852-1939), demonstrou que,apostas esportivas betmotionfato, π é um número transcendental.

E, 45 anos antes, o matemático francês Pierre Wantzel (1814-1848) havia comprovado,apostas esportivas betmotionuma das sete páginasapostas esportivas betmotionum artigoapostas esportivas betmotionsua autoria, que os outros três problemas também são insolúveis.

Tudo isso é assombroso, pois comprovar que algo é impossível é imensamente difícil... e importante.

"Geralmente, quando pensamos que algo é impossível, acreditamos que seja muito difícil, que pode levar muito tempo ou algo assim", explica Richeson. "Mas, quando um matemático demonstra que algo é impossível, isso significa que, do pontoapostas esportivas betmotionvista lógico, aquilo não pode acontecer: não existe formaapostas esportivas betmotionproceder à trissecçãoapostas esportivas betmotionum ângulo geral. Não há formaapostas esportivas betmotionfazer a quadratura do círculo."

"Não se trata apenasapostas esportivas betmotion'não somos suficientemente inteligentes', 'não nos esforçamos o suficiente' ou 'precisamosapostas esportivas betmotionmais tempo. É: 'paramos por aqui: é impossível'."

"Existem diversos teoremasapostas esportivas betmotionimpossibilidade famosos na matemática e todos são muito venerados porque foi demonstrada a negação: que algo não pode acontecer", prossegue o matemático. "E este é um sucesso incrível."

Mas isso não significa que as pessoas se deem por vencidas.

Em 1897, por exemplo, o Senadoapostas esportivas betmotionIndiana, nos Estados Unidos, discutiu um projetoapostas esportivas betmotionlei para legalizar um métodoapostas esportivas betmotionquadratura do círculo descoberto pelo médico e matemático amador Edwin L. Goodwin.

A lei procurava "introduzir uma nova verdade matemática". Ela foi inicialmente aceita por um comitê, até que foi finalmente rejeitada.

Conta-se que não existe matemático que não tenha recebido por e-mail soluções sobre a quadratura do círculo, duplicaçãoapostas esportivas betmotioncubos ou trissecçãoapostas esportivas betmotionângulos,apostas esportivas betmotionpessoas convencidasapostas esportivas betmotionterem encontrado a solução.

"Elas insistem por não entenderem o significadoapostas esportivas betmotion'impossível'", explica Richeson. E também porque as supostas soluções "são fáceisapostas esportivas betmotiondescrever e brincar com elas". Por isso, eles tentam, acreditam ter resolvido "e enviam as soluções para os matemáticos das universidades".

"Com certeza, haverá um erroapostas esportivas betmotionalguma parte, seja ele matemático ou com as regras. De forma que, talvez, elas tenham encontrado uma formaapostas esportivas betmotionresolver algum desses problemas, mas não usando as regras clássicas."

Euclides construiu todo um arcabouçoapostas esportivas betmotionsabedoria e possibilitou a criaçãoapostas esportivas betmotionnovas ideias, pois seus contemporâneos e as gerações seguintes continuaram tentando impulsionar o conhecimento, valendo-se apenasapostas esportivas betmotionrégua e compasso.

No caso destes quatro problemas, talvez se suspeitasse desde a Grécia antiga que aapostas esportivas betmotionsolução seria impossível. Mas tentar resolvê-los foi muito enriquecedor.