O problema matemático que intrigava Napoleão e que se aplicaestrela bet saque mínimoIA e no carreto daestrela bet saque mínimomudança:estrela bet saque mínimo

É o que afirma no artigo Napoléon Bonaparte and Science o destacado matemático francês Étienne Ghys, pesquisador emérito do Centro Nacional Francêsestrela bet saque mínimoPesquisa Científica. O imperador conquistou o apoioestrela bet saque mínimograndes cientistas, como o matemático Gaspard Monge, considerado o inventor da geometria descritiva e pai da geometria diferencial.

Monge acompanhou Napoleão na campanha no Egito, que “terminou com uma derrota militar, mas com notável êxito científico”, escreveu Ghys.

“Já se tinha visto alguma vez na história um exércitoestrela bet saque mínimoinvasores acompanhado por matemáticos, naturalistas, arqueólogos e filólogos?”

De volta a Paris,estrela bet saque mínimo1799, Napoleão deu o golpeestrela bet saque mínimoestado que o levaria ao poder absoluto na França.

Sob aestrela bet saque mínimoproteção, que incluía incentivos financeiros, prêmios e cargosestrela bet saque mínimoalta hierarquia para cientistas, a ciência francesa viveu um período verdadeiramente glorioso.

A questão matemática do "transporte ótimo"

A questão matemática do "transporte ótimo" visa encontrar a maneira mais eficiente e econômicaestrela bet saque mínimodeslocar objetosestrela bet saque mínimoum lugar para outro.

Sua origem remonta ao final do século XVIII, à época da Revolução Francesa.

O problema foi formuladoestrela bet saque mínimo1781 pelo matemático Gaspard Monge, que percebeu a aplicação no campo militar para saber qual a melhor maneiraestrela bet saque mínimoconstruir fortificações.

Ele viveu num períodoestrela bet saque mínimoque a Europa estava abalada por conflitos bélicos.

Foi com a ascensãoestrela bet saque mínimoNapoleão ao poder que Monge conseguiu se dedicar totalmente à questão que o intrigava.

Como grande estrategista, o general foi também um divulgador da ciência aplicada à guerra.

Ele precisava urgentementeestrela bet saque mínimouma resposta sobre as fortificações; não queria perder tempo, recursos ou mãoestrela bet saque mínimoobraestrela bet saque mínimosuas campanhas.

Então Monge, que já era um conhecido matemático e amigoestrela bet saque mínimoNapoleão, viu-se no momento e no lugar perfeitos para continuar a se aprofundar no problema.

Complexidade

Em termos práticos, Monge, tal como Napoleão, queria saber onde construir fortificações para minimizar custos. Mas havia mais.

“Como cientista, Monge também estava interessado na questão teórica que estava por trás: como funciona o transporte ótimoestrela bet saque mínimoteoria?”, diz Alessio Figalli, professor da prestigiada Escola Politécnica Federalestrela bet saque mínimoZurique.

Figalli, que conquistou reconhecimentos por suas contribuições no campo da matemática, ganhou a Medalha Fieldsestrela bet saque mínimo2018, aos 34 anos, considerado o Prêmio Nobelestrela bet saque mínimomatemática.

O transporte ótimo é justamente um dos conceitosestrela bet saque mínimoque Figalli concentrou seu trabalho.

“Monge começou a entender o problema a partirestrela bet saque mínimouma perspectiva geométrica e, para isso, fez muitos desenhos”, explica.

Imaginemos que temos duas cidades, A e B, e queremos construir uma fortificaçãoestrela bet saque mínimocada.

Se o objetivo é minimizar o transporteestrela bet saque mínimomateriais, é lógico que retiremos o que vamos precisar para a construçãoestrela bet saque mínimoAestrela bet saque mínimoum local próximo a A, eestrela bet saque mínimoum local próximoestrela bet saque mínimoB para o que vamos construirestrela bet saque mínimoB.

Não faria muito sentido extraí-los e enviá-losestrela bet saque mínimooutras partes mais distantes do país sem ser necessário.

“Se você só tem duas cidades e dois locaisestrela bet saque mínimoextração, é muito fácil ver a solução: basta enviar o material do local mais próximo que houver”, diz Figalli, mas alerta:

“Se você começar a ter mais cidades e mais locaisestrela bet saque mínimoextração, o problema se torna muito maior e entender o que enviar e para onde pode não ser tão óbvio.”

“Talvez a quantidadeestrela bet saque mínimomaterial que extraioestrela bet saque mínimoum local não seja suficiente para todas as fortificações que tenho que construir naquela área e tereiestrela bet saque mínimotrazer materialestrela bet saque mínimoum local mais distante.”

“E se você começar a pensarestrela bet saque mínimonúmeros maiores, por exemplo, 10 mil cidades e 200 pontosestrela bet saque mínimoextração, o problema fica mais complexo. Procure saber se existe uma teoria matemática geral que você possa usar.”

Um olhar econômico

Monge realizou análises muito interessantes e avançou no problema.

Mas Figalli pede que lembremos que no século XIX não existiam matemáticos profissionais no sentido moderno: os cientistas faziam matemática e muitas outras coisas.

Além disso, foi um períodoestrela bet saque mínimoque se deu prioridade a outras teorias matemáticas.

Foi assim que o problema do transporte ótimo caiu um pouco no esquecimento: “depoisestrela bet saque mínimoMonge, por maisestrela bet saque mínimocem anos não aconteceu muita coisa”.

Foi na décadaestrela bet saque mínimo40 do século XX que um matemático e economista soviético resgatou a questão.

“Leonid Kantorovich realmente entendeu como atacar o problema”, diz o professor.

“Ele desenvolveu uma teoria matemática robusta para estudá-lo e, a partir disso, desenvolveu uma teoria econômica muito sólida que se poderia usar para resolver problemas muito concretos. Por exemplo, como as padarias poderiam planejar a melhor formaestrela bet saque mínimoenviar seus pães para os diferentes estabelecimentos da cidade.”

Em 1975, Kantorovich recebeu o Prêmio Nobelestrela bet saque mínimoEconomia, juntamente com o holandês Tjalling C. Koopmans, pelo trabalho no campo da teoria econômica normativa, que é a teoria da alocação ótimaestrela bet saque mínimorecursos.

Existem muitos problemas que podem ser resolvidos com o conceitoestrela bet saque mínimotransporte ótimo.

“Pense no trajeto para o trabalho, que as pessoas fazem todos os dias. Qual a maneira mais eficienteestrela bet saque mínimoser feito?”, pergunta o especialista.

“Um dos motivos que torna esse problema difícil é que não se trataestrela bet saque mínimoum ganho pessoal, mas coletivo: não é que se queira minimizar o tempo que você gasta no deslocamento para o trabalho, o que se busca é minimizar o tempo totalestrela bet saque mínimodeslocamento para o trabalhoestrela bet saque mínimotodas as cidades.”

“Isso pode significar que será preciso viajar um pouco mais, mas se pensarmos no bem-estar geral da população, a solução será a melhor possível.”

Nos fluidos

Na décadaestrela bet saque mínimo1980, o problema tomou um rumo inesperado.

O matemático francês Yann Brenier percebeu que o conceitoestrela bet saque mínimotransporte ótimo poderia ser usado no estudoestrela bet saque mínimofluidos.

“Foi mágico”, diz Figalli. “Ninguém esperava.”

“Brenier estava estudando o movimento da água, problemas relacionados à dinâmica dos fluidos, que é um campo da matemática e também da engenhariaestrela bet saque mínimoque você tenta entender como a água é transportada, como ela se comportaestrela bet saque mínimouma tubulação,estrela bet saque mínimoum recipiente, mas tambémestrela bet saque mínimosituaçõesestrela bet saque mínimofenômenos físicos complexos, como um furacão.”

“Não é que Brenier tenha repentinamente feito uma nova descobertaestrela bet saque mínimodinâmicaestrela bet saque mínimofluidos, o que foi surpreendente foi que ele fez a ligação com o conceitoestrela bet saque mínimotransporte ótimo. As pessoas perceberam que esse problema era mais rico do que parecia.”

“E os matemáticos adoram isso, fazer conexões entre problemas.”

Surgiu uma espécieestrela bet saque mínimorenascimento do problema e na décadaestrela bet saque mínimo90 houve um boom. “Foi como se tivesse virado moda, ficou super cool.”

“Os matemáticos são animais sociais. Embora exista a lendaestrela bet saque mínimoque ficamosestrela bet saque mínimonossas cavernas trabalhando sozinhos, na realidade a matemática é uma atividade muito socialestrela bet saque mínimoque a trocaestrela bet saque mínimoideias é constante.”

Na moda

O início dos anos 2000 foi a épocaestrela bet saque mínimoouro do problema, diz o professor.

Ele era um estudante muito jovem na Scuola Normale di Pisa e também se interessou por transporte ótimo. Ele finalmente foi conquistado quando estava no último ano do mestrado. No ano seguinte (em apenas um ano) obteria o doutorado.

“Esse problema é muito complexo. São tantas variáveis, possibilidades, que é preciso construir uma nova teoria. O que foi feito até agora não é suficiente para resolvê-lo e essa é a beleza: esse problema obriga a desenvolver novas matemáticas.”

Você tem uma resposta final?, pergunto.

“Na matemática nunca há uma resposta final”, responde ele. “Num problema como este há sempre coisas novas; não é que esteja sozinho, isolado, este é um problema macro.”

E me convida a pensar no sangue que circula pelo meu corpo como um fenômenoestrela bet saque mínimotransporte.

“Você está interessadoestrela bet saque mínimofortificações? Você está interessadoestrela bet saque mínimosangue? Dependendo do problema, existem respostas diferentes.”

É assim que entendo o que ele quer dizer quando afirma que “nunca há uma resposta final”: embora possa haver soluções para contextos específicos e necessidades concretas, não será a resposta definitiva para tudo o que o conceitoestrela bet saque mínimotransporte ótimo pode implicar.

E suas aplicações parecem tão vastas quanto o próprio céu.

Entre nuvens

E assim, sem ir muito longe, Figalli me conta sobre as aplicações na meteorologia.

“Do pontoestrela bet saque mínimovista teórico, o movimento das nuvens pode ser entendido como um problemaestrela bet saque mínimotransporte ótimo: as nuvens são feitasestrela bet saque mínimopartículasestrela bet saque mínimoágua que se movem à medida que elas o fazem.”

As técnicas que foram desenvolvidas no estudo do transporte ótimo podem ajudar a analisar a evolução das nuvens.

“Como fazer a ligação entre essas pequenas partículasestrela bet saque mínimoágua que se movem com essas grandes nuvens? Como deduzir a pressão, a velocidade com que viajam? Como você conecta esta descrição microscópica com esta descrição macroscópica? Como você pode traçar a rota? Essa é uma questão matemática.”

E há um princípio básico: “A natureza quer ser eficiente: gastar o mínimoestrela bet saque mínimoenergia para fazer o que temestrela bet saque mínimofazer e, por essa razão, o transporte ótimo e a natureza funcionam bem juntos”.

Mas também funciona bemestrela bet saque mínimooutros contextos. Pensemosestrela bet saque mínimotecnologia:estrela bet saque mínimovezestrela bet saque mínimopartículasestrela bet saque mínimoágua, imagine pixels, e,estrela bet saque mínimovezestrela bet saque mínimonuvens, penseestrela bet saque mínimofotos.

Nos computadores

No aprendizadoestrela bet saque mínimomáquina, ramo da inteligência artificial, o objetivo é treinar programasestrela bet saque mínimocomputador para executar tarefas específicas. Uma delas é o reconhecimentoestrela bet saque mínimoimagens.

Imagine que no seu computador você tem uma coleçãoestrela bet saque mínimofotosestrela bet saque mínimoanimais – há cachorros, gatos, elefantes, vacas – e recebe uma nova imagemestrela bet saque mínimoum animal que você não sabe o que é.

“Preciso comparar imagens, como posso fazer isso? O transporte ótimo pode fazer isso por você”, diz Figalli.

“Quero transportar os pixels, ou o que compõe aquela nova foto, para outra imagem e ver quanto custa esse processo. Se for muito pouco é porque a imagemestrela bet saque mínimoquestão é semelhante àestrela bet saque mínimoreferência. É muito provável que a minha foto sejaestrela bet saque mínimoum cachorro, porque é muito parecida com a que já existeestrela bet saque mínimoum cachorro.”

“Mas se o transporte custa muito, significa que a imagem era muito diferente da imagemestrela bet saque mínimoum cachorro. Portanto, deve representar algo diferente.”

“O metaprincípio é que o transporte ótimo é uma maneira muito boaestrela bet saque mínimocomparar imagens, objetos e, uma vez feito isso, pode ser usado para treinar uma redeestrela bet saque mínimointeligência artificial.”

E voltamos ao ponto da beleza.

“Você vê?”, o professor me diz com um sorriso.

“A matemática não se importa se o que você transporta é um objeto concreto ou abstrato. Pode ser materialestrela bet saque mínimoconstrução, pão, pessoas indo trabalhar, uma imagem, um pixel. É sempre um objeto a partir do qual tiramos modelos, fazemos fórmulas, vira abstrato e você faz o que quiser. Você sempre tem novas aplicações.”

Naestrela bet saque mínimovida

É assim que o problema cuja formulação remonta ao século XVIII está presenteestrela bet saque mínimonossas vidas.

Pense por um momentoestrela bet saque mínimoquando você se muda, diz Matteo Bonforte, professor da Universidade Autônomaestrela bet saque mínimoMadrid e membro do Institutoestrela bet saque mínimoCiências Matemáticas da Espanha.

“Você tem que mudar as coisasestrela bet saque mínimouma casa para outra e tem uma van ou um caminhão. Como colocar os seus pertences no caminhão da melhor forma, para que custe o mínimo possível: menos viagens, menos esforço para os encarregados?”

Para Bonforte, é fundamental continuar investigando problemas como o transporte ótimo.

“Alessio Figalli é uma dessas mentes maravilhosas das quais existe uma por geração.”

“É muito importante que matemáticos da primeira fila como ele, os top-top-top, dediquem-se a esses problemas, porque eles conseguem ver coisas que ‘os mortais comuns não vêem’, criam conexões entre coisas que parecem muito diferentes, mas que, com as lentes apropriadas, no fim, observa-se que o mecanismo subjacente, o princípio básico, é o mesmo e os une.”

Ele destaca que Figalli tem conseguido resolver problemas que estavamestrela bet saque mínimoaberto há muitos anos, o que faz com que a teoria desenvolvida seja aplicável a “problemas da vida real”.

“É fundamental que essas grandes figuras da matemática lidem com esses problemas porque eles também dão um impulso a toda a comunidade: muitos pesquisadores ‘entram na onda’, o problema vira ‘moda’ e isso gera um avanço no conhecimento espetacular, sempre pelo motivoestrela bet saque mínimosermos animais sociais.”